Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total contida nela. É uma das formas mais poderosas de calcular campos elétricos quando há simetria.

Fluxo Elétrico

O fluxo elétrico $\Phi_E$ através de uma superfície é definido como:

$$\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$$

Onde $d\mathbf{A}$ é o vetor de área (normal à superfície, apontando para fora).

Interpretação Física

O fluxo representa o “número de linhas de campo” que atravessam a superfície:

• Fluxo positivo: Linhas de campo saindo
• Fluxo negativo: Linhas de campo entrando
• Fluxo zero: Mesmo número de linhas entrando e saindo

Lei de Gauss

A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é proporcional à carga total contida:

$$\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$$

Onde:

• $Q_{enc}$ é a carga total dentro da superfície gaussiana
• $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}$ F/m é a permissividade do vácuo

Superfícies Gaussianas

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Aplicações com Simetria

Esfera Uniformemente Carregada

Para uma esfera de raio $R$ com carga total $Q$:

Fora da esfera ($r > R$):

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$

Dentro da esfera ($r < R$):

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qr}{R^3}$$

Fio Infinito

Para um fio infinito com densidade linear de carga $\lambda$:

$$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

Plano Infinito

Para um plano infinito com densidade superficial de carga $\sigma$:

$$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

Note que este campo é uniforme e independe da distância!

Forma Diferencial

A Lei de Gauss também pode ser escrita na forma diferencial:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

Esta é a primeira equação de Maxwell e relaciona a divergência do campo elétrico com a densidade volumétrica de carga $\rho$.

Resumo

Geometria	Superfície Gaussiana	Campo Elétrico
Carga pontual	Esfera	$E \propto 1/r^2$
Fio infinito	Cilindro	$E \propto 1/r$
Plano infinito	Cilindro/Caixa	$E =$ constante

Próximos Passos

Na próxima aula, estudaremos o potencial elétrico e sua relação com o campo elétrico.